Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий. Вероятностным экспериментом (испытанием, наблюдением) называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. В данном эксперименте любой его результат (исход) является событием.

Событие может быть достоверным (всегда происходит в результате испытания); невозможным (заведомо не происходит при испытании); случайным (может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента).

Событие, которое нельзя разбить на более простые события, называется элементарным. Событие, представленное в виде совокупности нескольких элементарных событий, называется сложным (фирма не понесла убытки – прибыль может быть положительной либо равной нулю).

Два события, которые не могут происходить одновременно (увеличение налогов – рост располагаемого дохода; увеличение объема инвестиций – снижение уровня риска), называются несовместными.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они являются совместными (увеличение объема продаж – увеличение прибыли). События называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).

Вероятность события – это численная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р (А ) события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А , к общему числу n всех возможных элементарных исходов данного эксперимента:

Из вышеизложенного вытекают следующие основные свойства вероятности:

1. 0 £ Р (А ) £ 1.

2. Вероятность достоверного события А равна 1: Р (А ) = 1.

3. Вероятность невозможного события А равна 0: Р (А ) = 0.

4. Если события А и В несовместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ); если же события А и В совместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ) - Р (А . B). (Р (А . B) – вероятность совместного появления этих событий).

5. Если А и противоположные события, то Р () = 1 - Р (А ).

Если вероятность осуществления одного события не изменяет вероятности появления другого, то такие события называются независимыми.

При непосредственном вычислении вероятностей событий, характеризующихся большим числом исходов, следует пользоваться формулами комбинаторики . Для исследования группы событий (гипотез)

применяются формулы полной вероятности, Бейеса и Бернулли (n независимых испытаний – повторение опытов) .

При статистическом определении вероятности события А под n понимается полное число фактически проведенных испытаний, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение m /n называется относительной частотой (частостью) W n (A ) появления события А в n произведенных испытаниях.

При определении вероятности по методу экспертных оценок под n понимается количество экспертов (специалистов в данной области), опрашиваемых на предмет возможности осуществления события А . При этом m из них утверждают, что событие А произойдет.

Понятия случайного события недостаточно для описания результатов наблюдений величин, имеющих числовое выражение. Например, при анализе финансового результата предприятия в первую очередь интересуются его размерами. Поэтому понятие случайного события дополняется понятием случайной величины.

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает одно из возможного множества своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Для каждого элементарного события СВ имеет единственное значение.

Различают дискретные и непрерывные СВ. Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно, т. е. СВ принимает отдельные изолированные значения, которые могут быть заранее перечислены, с определенными вероятностями. Для непрерывной СВ множество ее возможных значений бесконечно и несчетно, например, все числа данного интервала, т.е. возможные значения СВ не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примеры случайных величин: Х - ежедневное число покупателей в супермаркете (дискретная СВ); Y - число детей, родившихся в течение суток в определенном административном центре (дискретная СВ); Z - координата точки попадания артиллерийского снаряда (непрерывная СВ).

Многие СВ, рассматриваемые в экономике, имеют настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ. Например, курсы валют, доход населения и т. п.

Для описания СВ необходимо установить соотношение между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соотношение будет называться законом распределения СВ . Для дискретной СВ его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо графически. Например, таблично для СВ Х

Задачи на классическое определение вероятности.
Примеры решений

На третьем уроке мы рассмотрим различные задачи, касающиеся непосредственного применения классического определения вероятности. Для эффективного изучения материалов данной статьи рекомендую ознакомиться с базовыми понятиями теории вероятностей и основами комбинаторики . Задача на классическое определение вероятности с вероятностью, стремящейся к единице, будет присутствовать в вашей самостоятельной/контрольной работе по терверу, поэтому настраиваемся на серьёзную работу. Вы спросите, чего тут серьёзного? …всего-то одна примитивная формула . Предостерегаю от легкомыслия – тематические задания достаточно разнообразны, и многие из них запросто могут поставить в тупик. В этой связи помимо проработки основного урока, постарайтесь изучить дополнительные задачи по теме, которые находятся в копилке готовых решений по высшей математике . Приёмы решения приёмами решения, а «друзей» всё-таки «надо знать в лицо», ибо даже богатая фантазия ограничена и типовых задач тоже хватает. Ну а я постараюсь в хорошем качестве разобрать максимальное их количество.

Вспоминаем классику жанра:

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

И сразу незамедлительный пит-стоп. Понятны ли вам подчёркнутые термины? Имеется ввиду чёткое, а не интуитивное понимание. Если нет, то всё-таки лучше вернуться к 1-й статье по теории вероятностей и только после этого ехать дальше.

Пожалуйста, не пропускайте первые примеры – в них я повторю один принципиально важный момент, а также расскажу, как правильно оформлять решение и какими способами это можно сделать:

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров) .

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей . Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ :

В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ :

Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.

Разминаемся:

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.

В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание : ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение : сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов . То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И подсчитываем их – всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ : 0,1

Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество) :

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.

Решение : найдём общее количество исходов:

Способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций , всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где – цифра, выпавшая на 1-м кубике, – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:

– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
– искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
– вероятность того, что выпадет не более 4 очков.

в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.

Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы . И снова эпичная задача про лифт:

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок ещё раз настоятельно рекомендую если не прорешать, то хотя бы разобраться в дополнительных задачах на классическое определение вероятности . Как я уже отмечал, «набивка руки» тоже имеет значение!

Далее по курсу – Геометрическое определение вероятности и Теоремы сложения и умножения вероятностей и… везения в главном!

Решения и ответы :

Задача 2: Решение : 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.

– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ :

Задача 4: Решение : найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4 мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ :

Задача 6: Решение : найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2 кубиках.

а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:
, т.е. это событие является невозможным.

б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:

Итого: 8
По классическому определению:
– искомая вероятность.

в) Рассмотрим противоположные события:
– произведение очков будет чётным;
– произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :

Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
– искомая вероятность.

Ответ :

Задача 8: Решение : вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 10 монет.
Другой путь: способами может упасть 1-я монета и способами может упасть 2-я монета и … и способами может упасть 10-я монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ :

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равно­возможных исходов опыта в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением
(1.2.1)
где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой . Для достоверного события , поэтому
(1.2.2)
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой . Для невозможного события , поэтому
(1.2.3)
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события выполняются неравенства , или , то
(1.2.4)
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
(1.2.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) -(1.2.4).

Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из ко­торых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение . Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинако­вых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементар­ных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоя­щего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего 6 2 = 36 равновозможных элемен­тарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому

Пример 4 . Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение. Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность

Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каж­дой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) озна­чает, что на первой монете герб, на второй - цифра). Событию D благо­приятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4 , то

Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном дву­значном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то
,
где А -событие "число с одинаковыми цифрами".

Пример 7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч ?

Решение . В слове дuфференцuал 12 букв, из них 5 гласных и 7 со­гласных. Буквы ч в этом слове нет. Обозначим события: А - "гласная буква", В - "согласная буква", С - "буква ч ". Число благоприятствующих элементарных исходов: -для события А, - для события В, - для события С. Поскольку n = 12 , то
, и .

Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается чис­ло очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой А. Событюо А благопри­ятствуют 6 элементарных исходов: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n=6 2 =36. Значит, искомая вероятность

Пример 9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение. Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного со­бытия. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k -натураль­ное число, причем , откуда . Следовательно,
, где А - событие "страница" имеет порядковый номер, кратный 5".

Пример 10 . Подбрасываются два игральных кубика, подсчитыва­ется сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее -получить в сумме 7 или 8?

Решение . Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В - 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всех равновозможных элементарных исходов n = 6 2 = 36. Значит, и .

Итак, Р(А)>Р(В), то есть получить в сумме 7 очков - более вероятное собы­тие, чем получить в сумме 8 очков.

Задачи

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Како­ва вероятность того, что это число кратно 3?
2. В урне a красных и b голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?
3. Наудачу· выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем зо?
4. В урне а голубых и b красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано наryральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
6. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 оч­ков?
7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?

Ответы

1. 1/3. 2 . b /(a +b ). 3 . 0,2. 4 . (b -1)/(a +b -1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятность получить в сумме 9 очков; p 2 = 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Вопросы

1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
6. Какое определение вероятности называют классическим?

Различные определения вероятности случайного события

Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.

Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:

Классическое определение вероятности случайного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта.

Где

Число благоприятных исходов опыта;

Общее числоисходов опыта.

Исход опыта называется благоприятным для события , если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .

Примеры.

1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.

2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.

3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5

Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

1) все исходы опыта должны быть равновероятными;

2) опыт должен иметь конечное число исходов.

На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например,при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.

Пример . Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.

Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):

Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?

Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади)к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):

Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:

Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:

Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:

Если в некоторой области случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части этой области равна:

, где

Обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.

Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.

Задача. (О встрече)

Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.

Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке

Рассуждая так для любого момента времени , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён»нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми: и . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:

В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятымв настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).

Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.

Относительной частотой появления случайного события называется отношение числа появлений события в испытаниях к общему числу проведенных испытаний:

Очевидно, , для достоверного события , для невозможного события , для несовместных событий и верно следующее:

Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие означает появление бубей , событие означает появление червей, а событие - появление карты красной масти. Очевидно, события и несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события , при появлении бубей – возле события , а при появлении червей – возле события . Очевидно, что метка возле события будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события или возле события , т.е. .

Назовем вероятностью случайного события число, сопоставленное событию по следующему правилу:

Для несовместных событий и

Итак,

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.